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2019九年级数学上册期中试卷

2019九年级数学上册期中试卷 时间:2019-03-12

  学习好数学是需要我们付出的,大家来做一下题吧,今天小编就给大家参考一下九年级数学,有喜欢的一起学习哦

2019九年级数学上册期中试卷

  九年级数学上册期中试卷

  一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)

  1.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是(  )

  A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0

  2.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  3. (3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是(  )

  A.没有实数根 B.只有一个实数根

  C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

  4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  )

  A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19

  5.(3分)S型电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是(  )

  A.1500(1+x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500

  6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为(  )

  A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2

  7.(3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论错误的是(  )

  A.BD平分∠ABC B.AD∥BC

  C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形

  8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为(  )

  A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3

  9.(3分)如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为(  )

  A.55° B.65° C.75° D.85°

  10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:

  ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.

  其中正确的是(  )

  A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④

  二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

  11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为   .

  12.(3分)已知点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,则a+b=   .

  13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是   .

  14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为   .

  15.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6厘米,DC=7厘米.把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图(2),这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.则AD1=   cm.

  三、解答题(本大题共8小题,共75分)

  16.(8分)解方程:

  (1)4(x﹣5)2=36

  (2)x2﹣ x+1=0.

  17.(9分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.

  (1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;

  (2)当t为何值时,二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.

  18.(9分)如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在下面每个图形中,选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.

  19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2)

  (1)该抛物线的顶点坐标是

  (2)求a的值;

  (3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m

  20.(9分)如图,四边形ABCD,AB=3,AC=2,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,此时发现点A、C、E恰好在一条直线上,求∠BAD的度数与AD的长.

  21.(10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.

  (1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?

  (2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;

  (3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)

  22.(10分)(1)问题发现:

  如图①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系:   ;

  (2)操作探究:

  如图②,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图②给出的情形进行证明;

  (3)解决问题:

  将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时,在备用图中画出其中的一个情形,并写出此时旋转角α的度数是   度.

  23.(11分)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

  (3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.

  九年级(上)期中数学试卷

  参考答案与试题解析

  一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)

  1.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是(  )

  A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0

  【解答】解:A、方程2x+1=0未知数的最高次数是1,属于一元一次方程;故本选项错误;

  B、y2+x=0中含有2个未知数,属于二元二次方程,故本选项错误;

  C、x2﹣x=0符合一元二次方程的定义;故本选项正确;

  D、该方程是分式方程;故本选项错误;

  故选:C.

  2.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  【解答】解:A图形不是中心对称图形;

  B图形是中心对称图形;

  C图形不是中心对称图形;

  D图形不是中心对称图形,

  故选:B.

  3.(3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是(  )

  A.没有实数根 B.只有一个实数根

  C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

  【解答】解:∵△=a2+4>0,

  ∴,方程有两个不相等的两个实数根.

  故选:D.

  4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  )

  A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19

  【解答】解:方程移项得:x2﹣6x=10,

  配方得:x2﹣6x+9=19,即(x﹣3)2=19,

  故选:D.

  5.(3分)S型电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是(  )

  A.1500(1 +x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500

  【解答】解:依题意得:第一次降价的售价为:1500(1﹣x),

  则第二次降价后的售价为:1500(1﹣x)(1﹣x)=1500(1﹣x)2,

  ∴1500(1﹣x)2=980.

  故选:C.

  6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为(  )

  A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2

  【解答】解:抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=3x2向上平移2个单位,再向右平移3个单位后顶点坐标为(3,2),此时解析式为y=3(x﹣3)2+2.

  故选:D.

  7.(3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论错误的是(  )

  A.BD平分∠ABC B.AD∥BC

  C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形

  【解答】解:∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,

  ∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,

  ∴△ABD是等边三角形,故D正确,

  ∴∠DAB=60°,

  ∴∠DAB=∠CBE,

  ∴AD∥BC,故B正确;

  ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,

  ∴∠ABD=∠CBE=60°,

  ∴∠DBC=180°﹣60°﹣60°=60°,

  ∴∠ABD=∠DBC,

  即BD平分∠ABC,故A正确;

  故选:C.

  8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为(  )

  A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3

  【解答】解:当m=1时,函数解析式为:y=﹣6x+ 是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点 ,

  当m≠1时,函数为二次函数,

  ∵函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,

  ∴62﹣4×(m﹣1)× m=0,

  解得,m=﹣2或3,

  故选:C.

  9.(3分)如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为(  )

  A.55° B.65° C.75° D.85°

  【解答】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′,

  ∴∠BAB′=∠CAC′=110°,AB=AB′,

  ∴∠AB′B= (180°﹣110°)=35°,

  ∵AC′∥BB′,

  ∴∠C′AB′=∠AB′B=35°,

  ∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠ C′AB′=110°﹣35°=75°.

  故选:C.

  10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:

  ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.

  其中正确的是(  )

  A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④

  【解答】解:∵抛物线开口向上,

  ∴a>0,

  ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,

  ∴b=﹣2a<0,

  ∴ab<0,所以①正确;

  ∵抛物线与x轴有2个交点,

  ∴△=b2﹣4ac>0,所以②正确;

  ∵x=1时,y<0,

  ∴a+b+c<0,

  而c<0,

  ∴a+b+2c<0,所以③正确;

  ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,

  ∴b=﹣2a,

  而x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,

  ∴a+2a+c>0,所以④错误.

  故选:C.

  二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

  11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为 x=1或x=  .

  【解答】解:3x(x﹣1)=2(x﹣1),

  移项得:3x(x﹣1 )﹣2(x﹣1)=0,

  即(x﹣1)(3x﹣2)=0,

  ∴x﹣1=0,3x﹣2=0,

  解方程得:x1=1,x2= .

  故答案为:x=1或x= .

  12.(3分)已知点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,则a+b= ﹣1 .

  【解答】解:∵点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,

  ∴a=﹣2,b=1,

  ∴a+b=﹣1,

  故答案为:﹣1.

  13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 0 .

  【解答】解:由于关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,

  把x=0代入方程,得k2﹣k=0,

  解得,k1=1,k2=0

  当k=1时,由于二次项系数k﹣1=0,

  方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是关于 x的二次方程,故k≠1.

  所以k的值是0.

  故答案为:0

  14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 (﹣1,0) .

  【解答】解:由于函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x轴上,

  则设与x轴另一交点坐标为(m,0),

  根据题意得: =1,

  解得m=﹣1,

  则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),

  故答案是:(﹣1,0).

  15.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6厘米,DC=7厘米.把三角板DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图(2),这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.则AD1= 5 cm.

  【解答】解:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.

  若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.

  ∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°.

  在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=3 .

  同理可求得:AO=OC=3.

  在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1﹣OC=4,

  由勾股定理得:AD1=5.

  三、解答题(本大题共8小题,共75分)

  16.(8分)解方程:

  (1)4(x﹣5)2=36

  (2)x2﹣ x+1=0.

  【解答】解:(1)开方得:2(x﹣5)=6或2(x﹣5)=﹣6,

  解得:x1=8,x2=2;

  (2)这里a=1,b=﹣ ,c=1,

  ∵△=10﹣4=6,

  ∴x= .

  17.(9分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.

  (1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;

  (2)当t为何值时,二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.

  【解答】解:(1)证明:在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中,△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0,

  ∴对于任意实数t,方程都有实数根;

  (2)解:令y=0,得到x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0

  设方程的两根分别为m、n,

  由题意可知,方程的两个根互为相反数,

  ∴m+n=t﹣1=0,

  解得:t=1.

  ∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.

  18.(9分)如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在下面每个图形中,选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.

  【解答】解:(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形,答案如图所示;

  19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2)

  (1)该抛物线的顶点坐标是 (3,2)

  (2)求a的值;

  (3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m

  【解答】解:(1)∵y=a(x﹣3)2+2,

  ∴ 该抛物线的顶点坐标是(3,2),

  故答案为:(3,2);

  (2)∵y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2),

  ∴﹣2=a(1﹣3)2+2,

  解得,a=﹣1,

  即a的值是﹣1;

  (3))∵y=a(x﹣3)2+2,a=﹣1,

  ∴该抛物线的图象在x<3时,y随x的增大而增大,在x>3时,y随x的增大而减小,

  ∵点A(m,y1)、B(n,y2)(m

  ∴y1

  20.(9分)如图,四边形ABCD,AB=3,AC=2,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,此时发现点A、C、E恰好在一条直线上,求∠BAD的度数与AD的长.

  【解答】解:∵点A、C、E在一 条直线上,

  而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,

  ∴∠ADE=60°,DA=DE,∠BAD=∠E=60°

  ∴△ADE为等边三角形,

  ∴∠E=60°,AD=AE,

  ∴∠BAD=60°,

  ∵点A、C、E在一条直线上,

  ∴AE=AC+CE,

  ∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,

  ∴CE=AB,

  ∴AE=AC+AB=2+3=5,

  ∴AD=AE=5.

  21.(10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.

  (1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?

  (2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;

  (3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)

  【解答】解:(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润=(70﹣50)×[50+5×(100﹣70)]=4000元;

  (2)由题得 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500(x≥50).

  ∵销售单价不得低于成本,

  ∴50≤x≤100.

  (3)∵该企业每天的总成本不超过7000元

  ∴50×[50 +5(100﹣x)]≤7000(8分)

  解得x≥82.

  由(2)可知 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500

  ∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5<0

  ∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,y随x增大而减小.

  ∴当x=82时,y有最大,最大值=4480,

  即 销售单价为82元时,每天的销售利润最大,最大利润为4480元.

  22.(10分)(1)问题发现:

  如图①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系: BE=CD,BE⊥CD ;

  (2)操作探究:

  如图②,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图②给出的情形进行证明;

  (3)解决问题:

  将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时, 在备用图中画出其中的一个情形,并写出此时旋转角α的度数是 45°或225°或315 度.

  【解答】解:(1)∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,

  ∴AB=AC,AE=AD,BE⊥CD,

  ∴AE﹣AB=AD﹣AC,

  ∴BE=CD;

  故答案为:BE=CD,BE⊥CD;

  (2)(1)结论成立,

  理由:如图,

  ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,

  ∴AB=AC,AE=AD,

  由旋转的性质得,∠BAE=∠CAD,

  在△BAE与△CAD中, ,

  ∴△BAE≌△CAD(SAS)

  ∴BE=CD;∠AEB=∠ADC,

  ∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°,

  ∴∠EFD=90°,

  即:BE⊥CD

  (3)如图,

  ∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,

  ∴∠ABC=∠ADC=45°,

  ∵ED=2AC,

  ∴AC=CD,

  ∴∠CAD=45°

  或360°﹣90°﹣45°=225°,或360°﹣45°=315°

  ∴角α的度数是45°或225°或315°.

  故答案为:45°或225°或315.

  23.(11分)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

  (3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.

  【解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ,

  解得 ,c=2,

  ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2.

  (2)存在.如图1中, ∵C(0,2),D( ,0),

  ∴OC=2,OD= ,CD= =

  ①当CP=CD时,可得P1( ,4).

  ②当DC=DP时,可得P2( , ),P3( ,﹣ )

  综上所述,满足条件的P点的坐标为 或 或 .

  (3)如图2中,

  对于抛物线y=﹣ x2+ x+2,当y=0时,﹣ x2+ x+2=0,解得x1=4,x2=﹣1

  ∴B(4,0),A(﹣1,0),

  由B(4,0),C(0,2)得直线BC的解析式为y=﹣ x+2,

  设E 则F ,

  EF= ﹣ =

  ∴ <0,∴当m=2时,EF有最大值2,

  此时E是BC中点,

  ∴当E运动到BC的中点时,△FBC面积最大,

  ∴△FBC最大面积= ×4×EF= ×4×2=4,此时E(2,1).


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